sin² 6° + sin² 42° + sin² 66° + sin² 78° = ...

Trigonometri Analitik.

Mungkin anda langsung berpikir menggunakan rumus sin² x = (1 - cos 2x) / 2, tetapi tidak menyelesaikan soal. Soal ini melibatkan rumus perkalian sinus dsn kosinus serta rumus jumlah selisih pada sinus dan kosinus.
Tetapi ada permasalahan lagi. Agar terselesaikan, kita libatkan rmus aljabar:
a² + b² = (a + b)² - 2ab = (a - b)² + 2ab

sin A + sin B = 2 sin [(A + B) / 2] cos [(A - B) / 2]
2 sin α sin β = cos (α - β) - cos (α + β)
cos (-θ) = cos θ

Jawab:
sin² 6° + sin² 42° + sin² 66° + sin² 78°
= sin² 6° + sin² 66° + sin² 42° + sin² 78°
= [(sin 6° + sin 66°)² - 2 sin 6° sin 66°] + [(sin 42° + sin 78°) - 2 sin 42° sin 78°]

Kita kerjakan satu-satu agar tidak menyulitkan! Rumus yang digunakan adalah a² + b² = (a + b)² - 2ab.
sin² 6° + sin² 66°
= (sin 6° + sin 66°)² - 2 sin 6° sin 66°
= (2 sin 36° cos 30°)² - (cos 60° - cos 72°)
= [2 × 1/4 √(10 - 2√5) × 1/2 √3]² - [1/2 - 1/4 (√5 - 1)]
= 3/16 (10 - 2√5) - 1/4 (3 - √5)
= 1/8 (9 - √5)

sin² 42° + sin² 78
= (sin 42° + sin 78°)² - 2 sin 42° sin 78°
= (2 sin 60° cos 18°)² - (cos 36° - cos 120°)
= [2 × 1/2 √3 × 1/4 √(10 + 2√5)]² - [1/4 (√5 + 1) + 1/2]
= 3/16 (10 + 2√5) - 1/4 (3 + √5)
= 1/8 (9 + √5)

Jadi:
sin² 6° + sin² 42° + sin² 66° + sin² 78°
= 1/8 (9 - √5) + 1/8 (9 + √5)
= 9/4