cos² 6° + cos² 42° + cos² 66° + cos² 78° = ...

Trigonometri Analitik.

Mungkin anda langsung berpikir menggunakan rumus cos² x = (1 + cos 2x) / 2, tetapi tidak menyelesaikan soal. Soal ini melibatkan rumus perkalian sinus dsn kosinus serta rumus jumlah selisih pada sinus dan kosinus.
Tetapi ada permasalahan lagi. Agar terselesaikan, kita libatkan rumus aljabar:
a² + b² = (a + b)² - 2ab = (a - b)² + 2ab

cos A + cos B = 2 cos [(A + B) / 2] cos [(A - B) / 2]
2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α - β)
cos (-θ) = cos θ

Jawab:
Kita gunakan rumus a² + b² = (a + b)² - 2ab .
cos² 6° + cos² 66° + cos² 42° + cos² 78° 
= [(cos 6° + cos 66°)² - 2 cos 6° cos 66°] + [(cos 42° + cos 78°)² - 2 cos 42° cos 78°]

Kita kerjakan menjadi dua bagian. Kerjakan satu-satu agar tidak menyulitkan!
cos² 6° + cos² 66°
= (cos 6° + cos 66°)² - 2 cos 6° cos 66°
= (2 cos 36° cos 30°)² - (cos 72° + cos 60°)
= [2 × 1/4 (√5 + 1) × 1/2 √3]² - [1/4 (√5 - 1) + 1/2]
= 1/8 (9 + 3√5) - 1/4 (1 + √5)
= 1/8 (7 + √5)

cos² 42° + cos² 78°
= (cos 42° + cos 78°)² - 2 cos 42° cos 78°
= (2 cos 60° cos 18°)² - (cos 120° + cos 36°)
= [2 × 1/2 × 1/4 √(10 + 2√5)]² - [-1/2 + 1/4 (√5 + 1)]
= 1/8 (5 + √5) - 1/4 (√5 - 1)
= 1/8 (7 - √5)

Jadi:
cos² 6° + cos² 42° + cos² 66° + cos² 78°
= 1/8 (7 + √5) + 1/8 (7 - √5)
= 7/4